Question

已知=(c，o)(c>o)，=(，)(R)，的最小值為1，若動點P同時滿足下列三個條件：①；②，其中R；③動點P的軌跡C經過點B(0，一1)．

(1)求的值；

(2)求曲線C的方程；

(3)是否存在方向向量為≠0)的直線，使與曲線C交于兩個不同的點M、N，且?若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(1)解法一：

                   =，

當時，，所以．

解法二：設G(，y)，則G在直線上，

所以的最小值為點F到直線的距離，即，得．

(2)∵，∴PE垂直于直線

又．

    ∴點P在以F為焦點、為準線的橢圓上．

    設P，則有，

點B(0，－1)代入，解得．

    ∴曲線C的方程為．

(3)假設存在方向向量為的直線滿足條件，則可設：，與橢圓聯立，

消去y得．

    由判別式△>0，可得    ①

    設M()，N()，MN的中點P()，

    由|BM|=|BN|，則有BP⊥MN．

    由韋達定理代入，可得到  ②

    聯立①②，可得到，

    ∵，∴或．

    即存在∈(－1，0)∪(0，1)，使與曲線C交于兩個不同的點M、N，且．