Question

（2009•大連二模）已知函數(shù)f（x）=-x³+ax-4在x=

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處取極值．
（I）求實(shí)數(shù)a的值；
（II）關(guān)于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)數(shù)，把x=

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代入可得關(guān)于a的方程，解之可得a的值；（II）求f′（x），研究其變化規(guī)律可得函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答：解：（I）由題意可得f′（x）=-3x²+2ax
由題意得f′（

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）=0，解得a=2，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件．      …（2分）
（II）由（1）知f（x）=-x³+2x²-4，則f′（x）=-3x²+4x…（4分）
令f′（x）=0，則x=0，或x=

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（舍去）…（6分）
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
f′（x）		-	0	+
f（x）	-1	↘	-4	↗	-3

…（9分）
∵關(guān)于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴-4＜m≤-3                                        …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，涉及根的存在性及個(gè)數(shù)的判斷，屬中檔題．