Question

（文）（1）已知動點P（x，y）到點F（0，1）與到直線y=-1的距離相等，求點P的軌跡L的方程；
（2）若正方形ABCD的三個頂點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）（x₁＜0≤x₂＜x₃）在（1）中的曲線L上，設BC的斜率為k，l=|BC|，求l關于k的函數解析式l=f（k）；
（3）由（2），求當k=2時正方形ABCD的頂點D的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用拋物線的定義，可求點P的軌跡L的方程；
 （2）由（1），假設直線BC的方程為：（k＞0），與曲線方程聯立，則得，，同理，根據|AB|=|BC|，可得函數關系式；
（3）由（2）及k=2易得點B、C、A的坐標從而可求D的坐標．
解答：解：（1）由題設可得動點P的軌跡方程為x²=4y．                         （4分）
（2）由（1），可設直線BC的方程為：（k＞0），消y得x²-4kx-x₂²+4kx₂=0，
易知x₂、x₃為該方程的兩個根，故有x₂+x₃=4k，得x₃=4k-x₂，
從而得，（7分）
類似地，可設直線AB的方程為：，
從而得，（9分）
由|AB|=|BC|，得k²•（2k-x₂）=（2+kx₂），
解得，（11分）（k＞0）．                              （13分）
（3）由（2）及k=2可得點B、C、A的坐標分別為，，，，所以．                              （18分）
點評：本題以拋物線為載體，考查拋物線的標準方程，考查函數關系式的求解，有一定的綜合性．