Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是CD的中點，以AE為折痕將△DAE向上折起，使D為D′，且平面D′AE⊥平面ABCE．
（Ⅰ）求證：AD′⊥EB；
（Ⅱ）求二面角A-BD′-E的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據三邊滿足AB²=AE²+BE²，可知AE⊥EB，取AE的中點M，連接MD′，根據等腰三角形可得MD′⊥AE，而平面D′AE⊥平面ABCE，可得MD′⊥平面ABCE，則MD′⊥BE，從而EB⊥平面AD′E，根據線面垂直的性質可知AD′⊥EB；
（Ⅱ）以點C為坐標原點，CB為y軸，CE為x軸，建立空間直角坐標系，求出平面ABD'的法向量

n1

=(x，y，z)和平面BD′E的法向量

n2

，再根據

n1

•

n2

=0，得到

n1

⊥

n2

，則平面ABD′⊥平面BD′E，從而求出二面角A-BD′-E的大小．

解答：解：如圖所示，
（Ⅰ）證明：因為AE=BE=

2

，AB=2，
所以AB²=AE²+BE²，即AE⊥EB，（2分）
取AE的中點M，連接MD′，則AD=D′E=1?MD′⊥AE，
又平面D′AE⊥平面ABCE，可得MD′⊥平面ABCE，
即得MD′⊥BE，（5分）
從而EB⊥平面AD′E，故AD′⊥EB（7分）
（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系，則A（2，1，0）、C（0，0，0）、B（0，1，0）、D′(

3

2

，

1

2

，

2

2

)，E（1，0，0），從而

BA

=(2，0，0)，

BD′

=(

3

2

，-

1

2

，

2

2

)，

BE

=(1，-1，0)．（9分）
設

n1

=(x，y，z)為平面ABD'的法向量，
則

n1 • BA =2x=0 n1 • BD′ = 3 2 x- 1 2 y+ 2 2 z=0

?可以取

n1

=(0，

2

，1)（11分）
設

n2

=(x，y，z)為平面BD′E的法向量，
則

n2 • BE =x-y=0 n2 • BD′ = 3 2 x- 1 2 y+ 2 2 z=0

?可以取

n2

=(1，1，-

2

)（13分）
因此，

n1

•

n2

=0，有

n1

⊥

n2

，
即平面ABD′⊥平面BD′E，故二面角A-BD′-E的大小為90°．（14分）

點評：本小題主要考查直線與平面垂直的性質，以及幾二面角的度量等基礎知識，考查利用空間向量的方程解決問題的能力，化歸與轉化思想，屬于中檔題．