Question

函數f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的圖象上一個最高點的坐標為(

π

12

，3)，與之相鄰的一個最低點的坐標為(

7π

12

，-1)．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求導函數f'（x）在區間[0，

π

2

]上的最大、最小值．

Answer 1

分析：（1）先由最高點、最低點求出函數的周期，進而求出ω，再利用函數的最大值、最小值列方程組解得A、B，最后代入特殊點求φ，則求出函數f（x）的解析式；
（2）首先利用復合函數求導法則對函數f（x）求導，然后根據余弦函數的性質求f（x）的最值．

解答：解：（1）依題意，

T

2

=

7π

12

-

π

12

=

π

2

，即T=π，故ω=

2π

T

=2．
由

A+B=3 -A+B=-1

，解得

A=2 B=1

．
把(

π

12

，3)代入f（x）=2sin（2x+φ）+1，得sin(

π

6

+φ)=1，
又|φ|＜

π

2

，故φ=

π

3

．
所以，f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1．
（2）f′(x)=4cos(2x+

π

3

)．
由x∈[0，

π

2

]，得2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，則cos(2x+

π

3

)∈[-1，

1

2

]，
所以f′(x)=4cos(2x+

π

3

)∈[-4，2]，
故f'（x）在區間[0，

π

2

]上的最大值為2，最小值為-4．

點評：本題考查三角函數的圖象和性質，同時考查待定系數法求函數解析式和三角復合函數求導等知識．