Question

在銳角△ABC中，已知cosA=

1

2

，BC=

3

，記△ABC的周長為f（B）．
（1）求函數y=f（B）的解析式和定義域，并化簡其解析式；
（2）若f(B)=

3

+

6

，求f(B-

π

2

)的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可求得A角，利用正弦定理及內角和等于π可把邊AC、AB用B角表示出來，從而求得解析式；根據各角為銳角及內角和定理可求定義域．
（2）根據（1）所求解析式及f(B)=

3

+

6

可求得B角，進而可求出f(B-

π

2

)的值．

解答：解：（1）由題意得A=

π

3

，由正弦定理，得

BC

sinA

=

AB

sinC

=

AC

sinB

，即

3

sin π 3

=

AB

sinC

=

AC

sinB

，
所以AB=

3

sin π 3

•sinC=2sinC，AC=2sinB，又B+C=

2π

3

，
所以y=f（B）=AB+BC+AC=2sinC+2sinB+

3

=2sin（

2π

3

-B）+2sinB+

3

=2sin

2π

3

cosB-2cos

2π

3

sinB+2sinB+

3

=3sinB+

3

cosB+

3

=2

3

sin（B+

π

6

）+

3

．
由

B+C= 2π 3 0＜B＜ π 2 0＜C＜ π 2

，得

π

6

＜B＜

π

2

．
所以函數y=f（B）=2

3

sin(B+

π

6

)+

3

，定義域為（

π

6

，

π

2

）．
（2）f（B）=

3

+

6

，即2

3

sin(B+

π

6

)+

3

=

3

+

6

，
∴sin（B+

π

6

）=

2

2

，又

π

6

＜B＜

π

2

，∴B=

π

12

，
∴f（B-

π

2

）=2

3

sin(

π

12

-

π

2

)=2

3

sin（-

5π

12

）
=-2

3

sin(

π

6

+

π

4

)=-2

3

（sin

π

6

cos

π

4

+cos

π

6

sin

π

4

）
=-2

3

×

2 + 6

4

=-

3 2 + 6

2

．
∴f（B-

π

2

）=-

3 2 + 6

2

．

點評：本題考查了函數解析式的求法及三角恒等變換，函數定義域的求解要考慮實際意義．