Question

求函數y=sin2x-2sinx+2cosx的最大值和最小值，并指出當x取何值時，函數取得最值．

Answer 1

分析：利用換元法t=sinx-cosx，求出t的范圍，通過二倍角求出sin2x與t的關系，得到函數關于t的二次函數，然后求出函數的最值，以及x的值．

解答：解：設t=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，…（2分）
則t∈[- 

2

，

2

]，
sin2x=2sinxcosx=1-t²．…（6分）
∴y=sin2x-2sinx+2cosx
=1-t²-2t
=-（t+1）²+2．…（8分）
∴當t=

2

時，即x=2kπ+

3π

4

，k∈Z時，y取得最小值為-1-2

2

；…（11分）
當t=1時，即x=2kπ或2kπ-

π

2

時，y取得最大值為2．…（14分）

點評：本題考查換元法，三角函數的化簡求值，注意換元中元的范圍，二次函數閉區間上的最值的應用，考查計算能力．