Question

已知函數f（x）=|

1

x

-1|．
（1）由函數y=

1

x

的圖象經過怎樣的變換可以得到函數y=f（x）的圖象，并作出函數y=f（x）的圖象；
（2）若集合A={y|y=f（x），

1

2

≤x≤2}，B=[0，1]，試判斷A與B的關系；
（3）若存在實數a、b（a＜b），使得集合{y|y=f（x），a≤x≤b}=[ma，mb]，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據圖象表達式之間的關系，確定圖象之間的變化．
（2）根據集合A，B元素的關系，確定A，B的關系．
（3）根據函數的值域關系，通過討論確定m的取值范圍．

解答：解：（1）先將y=

1

x

的圖象向下平移1個單位，再將所得圖象位于 x軸下方的部分翻折到x軸上方即可得y=f（x）的圖象．
其圖象為                            …3’
注：不作出“漸近線y=1”扣（1分）
（2）由圖象可知，當

1

2

≤x≤2時，0≤f（x）≤1，所以A=[0，1]=B   …8’
（3）∵a＜b，ma＜mb，∴m＞0
∵f（x）≥0，∴ma≥0，又a≠0，∴a＞0  …10’
1° 0＜a＜b≤1，由圖象知，f（x）當x∈[a，b]遞減，
∴

1 a -1=mb 1 b -1=ma

⇒a=b與a＜b矛盾   …12’
2° 0＜a＜1＜b，這時f（1）=0，則ma=0，而ma＞0
這亦與題設不符；                  …14’
3° 1≤a＜b，f（x）當x∈[a，b]遞增

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb

可知mx²-x+1=0在[1，+∞）內有兩不等實根

由

△＞0 1 2m ＞1 m-1+1＞0

，得0＜m＜

1

4

綜上可知m∈(0，

1

4

)…16’

點評：本題主要考查函數圖象的變換，以及利用函數的圖象求函數的值域，綜合考查函數的性質．