Question

（本小題滿分14分）已知函數f(x)滿足對任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+xy+1,且f（－2）=－2.
（1）求f（1）的值;
（2）證明:對一切大于1的正整數t，恒有f（t）>t;
（3）試求滿足f（t）=t的整數的個數，并說明理由.

Answer 1

(1) f（1）=1；（2）略；（3）1和－2

（1）解：令x=y=0，得f（0）=－1.
令x=y=－1，因f（－2）=－2，所以f（－1）=－2.
令x=1，y=－1，得f（0）=f（1）+f（－1），
所以f（1）="1.                          " 4分
（2）證明：令x=1，得f（y+1）－f（y）=y+2，
故當y∈N時，有f（y+1）－f（y）>0.
由f（y+1）>f（y），f（1）=1可知，對一切正整數y都有f（y）>0.
當y∈N時，f（y+1）=f（y）+y+2=f（y）+1+y+1>y+1.
故對一切大于1的正整數，恒有f（t）>t.           9分
（3）解：由f（y+1）－f（y）=y+2及（1）可知f（－3）=－1，f（－4）=1.
下面證明t≤－4時，f（t）＞t.
∵t≤－4，∴－（t+2）≥2＞0.
∵f（t）－f（t+1）=－（t+2）＞0，∴f（－5）－f（－4）＞0，
同理可得f（－6）－f（－5）＞0，f（t+1）－f（t+2）＞0，f（t）－f（t+1）＞0.
將各不等式相加得f（t）＞f（－4）=1＞－4.
∵t≤－4，∴f（t）＞t.
綜上所述，滿足條件的整數只有兩個：1和－2.…………         14分