Question

有一塊邊長為6m的正方形鋼板，將其四個角各截去一個邊長為x的小正方形，然后焊接成一個無蓋的蓄水池，截去的小正方形的邊長x為______m時，蓄水池的容積最大．

Answer 1

設蓄水池的底面邊長為a，則a=6-2x，
則蓄水池的容積為：V（x）=x（6-2x）²．
得V'（x）=12x²-48x+36．
令V'（x）=12x²-48x+36＞0，
解得x＜1或x＞3；
令V'（x）=12x²-48x+36＜0，解得1＜x＜3．
∵函數V（x）的定義域為x∈（0，3），
∴函數V（x）的單調增區間是：（0，1）；函數V（x）的單調減區間是：（1，3）．
令V'（x）=12x²-48x+36=0，
得x=1或x=3（舍）．
并求得V（1）=16．
由V（x）的單調性知，16為V（x）的最大值．
故截去的小正方形的邊長x為 1m時，蓄水池的容積最大，其最大容積是16m³．
故答案為：1．