Question

（本小題滿分12分）
已知數列{}滿足,且點在函數的圖象上，其中=1,2,3,….
（Ⅰ）證明：數列{lg(1+)}是等比數列；
（Ⅱ）設=(1+)（1+）…（1+），求及數列{}的通項.

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知lg(+1)=2n-1lg(1+)
=2n-1lg3=lg.∴+1=. 則 = -1     
∴=(1+)(1+)…(1+)=···…·   
==.∴=,=-1.

(I)緊扣等比數列的定義進行證明即可.先由由于(,)在函數的圖象上,
可得,從而可得,,從而得到證明.
(II)求出,然后可知然后再利用等比數列前n項和公式求解.
（Ⅰ）證明: 由于(,)在函數的圖象上，
∴=+2,∴+1=.                      …………4分
∵=2，∴+1﹥1,∴lg（+1）=2lg（+1）.
∴數列{lg(+1)}是公比為2的等比數列.                 …………6分
（Ⅱ）解: 由（Ⅰ）知lg(+1)=2n-1lg(1+)
=2n-1lg3=lg.∴+1=. 則 = -1              …………9分
∴=(1+)(1+)…(1+)=···…·   
==.∴=,=-1.                       …………12分