Question

在△ABC中，角A、B、C所對應的邊為a，b，c
（1）若cos(

π

3

-A)=2cosA，求A的值；
（2）若cosA=

1

3

，且△ABC的面積S=

2

c2，求sinC的值．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，整理后求出tanA的值，即可確定出A的度數；
（2）法1：由cosA的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinA的值，利用三角形面積公式表示出三角形ABC面積，將已知面積與sinA的值代入得到b=3c，再利用余弦定理列出關系式，將b=3c及cosA的值代入得到a=2

2

c，最后利用正弦定理即可求出sinC的值；
法2：由cosA的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinA的值，利用三角形面積公式表示出三角形ABC面積，將已知面積與sinA的值代入得到b=3c，再利用余弦定理列出關系式，將b=3c及cosA的值代入得到a=2

2

c，最后利用余弦定理及銳角三角函數定義即可求出sinC的值．

解答：解：（1）∵cos（

π

3

-A）=2cosA，即

1

2

cosA+

3

2

sinA=2cosA，
∴

3

sinA=3cosA，即tanA=

3

，
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

；
（2）法1：∵cosA=

1

3

，且A為三角形內角，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
∵S=

2

c²=

1

2

bcsinA=

2

3

bc，
∴b=3c，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=9c²+c²-2c²=8c²，
∴a=2

2

c，
由正弦定理得

a

sinA

=

c

sinC

，即

2 2 c

sinA

=

c

sinC

，得到sinC=

sinA

2 2

=

2 2 3

2 2

=

1

3

；
法2：∵cosA=

1

3

，且A為三角形內角，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
∵S=

2

c²=

1

2

bcsinA=

2

3

bc，
∴b=3c，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=9c²+c²-2c²=8c²，
∴a=2

2

c，
∵a²+c²=8c²+c²=9c²=b²，
∴△ABC是Rt△，角B為直角，
∴sinC=

c

b

=

1

3

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，同角三角函數間的基本關系，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．