Question

【題目】如圖， 是橢圓的右焦點(diǎn)， 是坐標(biāo)原點(diǎn)， ，過作的垂線交橢圓于， 兩點(diǎn)， 的面積為.

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線與上下半橢圓分別交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，且，求的面積取得最大值時直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) .(2) .

【解析】試題分析：

(1)由題意列方程組可得， ，橢圓方程為.

(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得的面積為： ，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得的面積取得最大值時直線的方程是.

試題解析：

（1）由題意可得，將代入橢圓方程得，

即有的面積為，即，且，

解得， ，

即橢圓方程為.

（2）設(shè)，且，即.

直線： ，代入橢圓方程可得，

設(shè)， ，

則， ，

由，可得，

即有，代入韋達(dá)定理得，即有，即有，

則的面積為：

，

當(dāng)，由圖示可得，此時， 的面積取得最大值，且為，

故所求直線方程為.