Question

國家助學貸款是由財政貼息的信用貸款，旨在幫助高校家庭經濟困難學生支付在校學習期間所需的學費、住宿費及生活費．每一年度申請總額不超過6000元．某大學2010屆畢業生王某在本科期間共申請了24000元助學貸款，并承諾在畢業后3年內（按36個月計）全部還清．
簽約的單位提供的工資標準為第一年內每月1500元，第13個月開始，每月工資比前一個月增加5%直到4000元．王某計劃前12個月每個月還款額為500，第13個月開始，每月還款額比前一月多x元．
（Ⅰ）用x和n表示王某第n個月的還款額a_n；
（Ⅱ）若王某恰好在第36個月（即畢業后三年）還清貸款，求x的值；
（Ⅱ）當x=40時，王某將在第幾個月還清最后一筆貸款？他當月工資的余額是否能滿足每月3000元的基本生活費？
（參考數據：1.05¹⁸=2.406，1.05¹⁹=2.526，1.05²⁰=2.653，1.05²¹=2.786）

Answer 1

解：（Ⅰ）∵王某計劃前12個月每個月還款額為500，第13個月開始，每月還款額比前一月多x元．
∴
（Ⅱ）依題意，從第13個月開始，每個月的還款額為a_n構成等差數列，其中a₁=500+x，公差為x．
從而，到第36個月，王某共還款12×500+24a₁+•x
令12×500+24×（500+x）+•x=24000，解之得x=20（元）．
即要使在三年全部還清，第13個月起每個月必須比上一個月多還20元．
（Ⅲ）設王某第n個月還清，則應有
整理可得n²+2n-1068=0，解之得，取n=32．
即王某工作32個月就可以還清貸款．
這個月王某的還款額為（元）
第32個月王某的工資為1500×1.05²⁰=1500×2.653=3979.5元．
因此，王某的剩余工資為3979.5-900=3079.5，能夠滿足當月的基本生活需求．
分析：（I）根據王某計劃前12個月每個月還款額為500，第13個月開始，每月還款額比前一月多x元，即可得到結論；
（Ⅱ）前12個月還款額是常數列，后二十四個月每月還款額構成一個等差數列，用數列公式求和，使和為24000，建立方程．解出每月應多還的數額．
（Ⅲ）前12個月還款額是常數列，后n-12個月每月還款額構成一個首項為500，公差為50的等差數列，用數列公式求和，使和不小于24000，建立不等式，解出n的范圍，取最小整數．
點評：本題考查數列模型，考查等差數列求和公式的運用，解題的關鍵是讀懂題意，構建數列模型．