Question

已知m∈R，設和為方程的兩個實根，不等式對任意實數a∈[－1，1]恒成立；Q：函數在(－∞，＋∞)上有極值，求使P正確且Q正確的m的取值范圍．

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)由題設和是方程的兩個實根，得，． ∴， 當a∈[－1，1]時，的最大值為9．即． 由題意，不等式對任意實數a∈[－1，1]恒成立的m的解集為不等式的解集，解此不等式可得m≤－1，或0≤m≤5或m≥6． 因此，當m≤－1，或0≤m≤5或m≥6時，P是正確的． (2)∵，令，即， ∴此一元二次方程的判別式為． 若Δ=0，則有兩個相等的實根，且的符號如下表： 由表可知，不是f(x)的極值． 若Δ＞0，則有兩個不相等的實根和，且的符號如下表： 由表可知，f(x)在處取得極大值，在處取得極小值． 綜上所述，當且僅當Δ＞0時，函數在(－∞，＋∞)上有極值． 由Δ＞0得，∴m＜－1或m＞4． 因此，當m＜－1或m＞4時，Q是正確的． 綜合(1)，(2)使P正確且Q正確時，實數m的取值范圍為(－∞，－1)∪(4，5]∪[6，＋∞)