Question

已知橢圓，過焦點且垂直于長軸的弦長為1，且焦點與短軸兩端點構成等邊三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；    （Ⅱ）過點Q（-1，0）的直線l交橢圓于A，B兩點，交直線x=-4于點E，且，．求證：λ+μ為定值，并計算出該定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由條件得，從而寫出橢圓的方程即可；
（Ⅱ）易知直線l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x₁y₁），B（x₂，y₂），E（-4，y），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量的坐標公式即可求得λ+μ值，從而解決問題．
解答：解：（Ⅰ）由條件得，所以方程為
（Ⅱ）易知直線l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x₁y₁），B（x₂，y₂），E（-4，y）
由
△=48k²+16＞0
，
由

由（1），由（2）
∴
將，代入有∴
點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、向量在幾何中的應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想與轉化思想．屬于基礎題．