Question

計算

C

1n

+2

C

2n

+3

C

3n

+…+n

C

nn

，可以采用以下方法：構造恒等式

C

0n

+

C

1n

x+

C

2n

x2+…+

C

nn

xn=(1+x)n，兩邊對x求導，得

C

1n

+2

C

2n

x+3

C

3n

x2+…+n

C

nn

xn-1=n(1+x)n-1，在上式中令x=1，得

C

1n

+2

C

2n

+3

C

3n

+…+n

C

nn

=n•2n-1．類比上述計算方法，計算

C

1n

+22

C

2n

+32

C

3n

+…+n2

C

nn

=______．

Answer 1

對C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+nC_nⁿx^n-1=n（1+x）^n-1，兩邊同乘以x得：
xC_n¹+2C_n²x²+3C_n³x³+…+nC_nⁿxⁿ=n•x•（1+x）^n-1，
再兩邊對x求導
得到：C_n¹+2²C_n²x+3²C_n³x²+…+n²C_nⁿx^n-1=n（1+x）^n-1+n（n-1）x（1+x）^n-2
在上式中令x=1，得C_n¹+2²C_n²+3²C_n³+…+n²C_nⁿ=n•2^n-1+n（n-1）•2^n-2=n（n+1）2^n-2．
故答案為：n（n+1）2^n-2．