Question

已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的定義域；

（2）若函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，試討論它的奇偶性和單調(diào)性；

（3）在（2）的條件下，記為的反函數(shù)，若關(guān)于的方程

有解，求的取值范圍．

Answer 1

同下

解析:

（1），所以當(dāng)時，定義域為；

當(dāng)時，定義域為；

當(dāng)時，定義域為                     ……4分

（2）函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，當(dāng)且僅當(dāng)，

此時，．                                   ……6分

對于定義域D=內(nèi)任意，，

，所以為奇函數(shù)；……8分

當(dāng)，在內(nèi)單調(diào)遞減；由于為奇函數(shù)，所以在內(nèi)單調(diào)遞減；                                                   ……11分

（3），                            ……14分

方程即，令，得，

又，所以當(dāng)時方程有解.……18分

另解：令，得，，分三種情況討論：

①方程有兩根，解得

②方程有一正一負(fù)根，，解得

③方程有一正一零根，

綜上討論，可知.