Question

已知拋物線y²=x和三個點M（x₀，y₀）、P（0，y₀）、N（-x₀，y₀）（y₀≠x₀²，y₀＞0），過點M的一條直線交拋物線于A、B兩點，AP、BP的延長線分別交曲線C于E、F，
（1）證明E、F、N三點共線；
（2）如果A、B、M、N四點共線，問：是否存在y₀，使以線段AB為直徑的圓與拋物線有異于A、B的交點？如果存在，求出y₀的取值范圍，并求出該交點到直線AB的距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：設，
則直線AB的方程：，
即：，
因在AB上，所以，①
又直線AP方程：，
由得：，
所以，
同理，
所以直線EF的方程：，
令得，
將①代入上式得，即N點在直線EF上，所以E，F，N三點共線；
（2）解：由已知A、B、M、N共線，所以，
以AB為直徑的圓的方程：，
由得，
所以，
要使圓與拋物線有異于A，B的交點，則，
所以存在，使以AB為直徑的圓與拋物線有異于A，B的交點，
則，
所以交點T到AB的距離為。