Question

如圖，四棱錐的底面是正方形，側棱底面，過作垂直交于點，作垂直交于點，平面交于點，且，.

（1）試證明不論點在何位置，都有；
（2）求的最小值；            
（3）設平面與平面的交線為，求證：.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）先證明平面，再由平面得到；（2）將側面和側面沿著展開至同一平面上，利用、、三點共線結合余弦定理求出的最小值，即線段的長度；（3）先證平面，然后利用直線與平面平行的性質定理證明.
試題解析：（1）底面是正方形，，
底面，面，，
又，平面,
不論點在何位置都有平面，
；
（2）將側面繞側棱旋轉到與側面在同一平面內，如下圖示，

則當、、三點共線時，取最小值，這時，的最小值即線段的長，
設，則，
在中，，，
在三角形中，有余弦定理得：
，
；
（3）連結，，，，，

又，，，，，
，，
又面，平面，
平面平面，.