Question

函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意實數x，都有f（x）=f（x±2k），（k∈Z）成立，已知當x∈[1，2]時，f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）
（1）求x∈[-1，1]時，函數f（x）的表達式；
（2）求x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）時，函數f（x）的表達式；
（3）若函數f（x）的最大值為

1

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用函數是偶函數，f（x）=f（x±2k），可得函數的周期是2k，然后利用周期性和奇偶性求f（x）的表達式．
（2）利用函數的周期是2k，求函數f（x）的表達式．
（3）利用函數的最大值，討論a的取值，利用對數函數的單調性求解a．

解答：解：（1）由f（x）=f（x±2k）可得函數的周期為2k．當k=1時，函數的周期為2．
所以當x∈[-1，0]時，x+2∈[1，2]，所以f（x）=f（x+2）=log_a（x+2）．
因為函數為偶函數，所以當x∈[0，1]時，-x∈[-1，0]，
所以此時f（x）=f（-x）=log_a（-x+2）．
即f(x)=

loga(x+2)，-1≤x≤0 loga(2-x)，0＜x≤1

．
（2）當x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）時，x-2k∈[-1，1]（k∈Z），所以f（x）=f（x-2k）=

loga(x-2k+2)，-1≤x-2k≤0 loga(2-x+2k)，0＜x-2k≤1

，
即f(x)=

loga(x-2k+2)，2k-1≤x≤2k loga(2-x+2k)，2k＜x≤1+2k

．
（3）因為函數的周期函數且函數為偶函數，所以只研究當x∈[-1，0]時的函數性質即可．
當x∈[-1，0]時，f（x）=log_a（x+2）．
若a＞1，則函數單調遞增，此時函數的最大值為f（0）=log_a2=

1

2

，解得a=4成立．
若0＜a＜1，則函數單調遞減，此時函數的最大值為f（-1）=log_a1=0，與最大值是

1

2

矛盾．
綜上a=4．

點評：本題主要考查函數周期性和奇偶性的應用，利用函數的周期性和奇偶性求函數的解析式，考查學生的運算能力．