Question

在公差為d的等差數列{a_n}中，已知a₁＝10，且a_1,2a₂＋2,5a₃成等比數列．
(1)求d，a_n；
(2)若d＜0，求|a₁|＋|a₂|＋|a₃|＋…＋|a_n|.

Answer 1

(1) d＝－1, a_n＝－n＋11(n∈N^*)或d＝4,a_n＝4n＋6(n∈N^*);(2)

解析試題分析：(1)由已知可得再由a_1,2a₂＋2,5a₃成等比數列得到：將通項代入即可得到關于d的方程，解此方程即可獲得d的值，將d的值代入通項中即可獲得；(2)求數列各項的絕對值和，關鍵在于弄清哪些項是正，哪些項是負后用絕對值的定義去掉絕對值符號轉化為等差數列前n項和的問題來加以解決，注意由分類討論解決.
試題解析：(1)由題意得，a₁·5a₃＝(2a₂＋2)²，              1分
由a₁＝10，{a_n}為公差為d的等差數列得，d²－3d－4＝0，
解得d＝－1或d＝4                  3分
所以a_n＝－n＋11(n∈N^*)或a_n＝4n＋6(n∈N^*)        5分
(2)設數列{a_n}的前n項和為S_n.
因為d＜0，由(1)得d＝－1，a_n＝－n＋11，          6分
所以當n≤11時，
|a₁|＋|a₂|＋|a₃|＋…＋|a_n|＝S_n＝－n²＋n        8分
當n≥12時，
|a₁|＋|a₂|＋|a₃|＋…＋|a_n|＝－S_n＋2S₁₁＝n²－n＋110   11分
綜上所述，
|a₁|＋|a₂|＋|a₃|＋…＋|a_n|＝            12分
考點：1.等差數列與等比數列;2.數列的前n項和.