Question

已知函數圖象上一點處的切線方程為．

(Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若方程在內有兩個不等實根，求的取值范圍（其中為自然對數的底數）；

（Ⅲ）令，若的圖象與軸交于，(其中)，的中點為，求證：在處的導數．

Answer 1

（1）（2）（3）

解析:

（Ⅰ），，．

∴，且．   

解得．                          

（Ⅱ），令，

則，令，得（舍去）．

在內，當時，， ∴ 是增函數；

當時，，   ∴  是減函數        

則方程在內有兩個不等實根的充要條件是

即．                               

（Ⅲ），．

假設結論成立，則有

①－②，得． 

∴．     

由④得，

∴                  

即，即．⑤         

令，（)，   

則＞0．∴在上增函數， ∴，

∴⑤式不成立，與假設矛盾．

∴．