Question

求下列函數的值域：
（1）y=3x²-x+2；    （2）y=

-x2-6x-5

；   （3）y=

3x+1

x-2

；
（4）y=x+4

1-x

；  （5）y=x+

1-x2

；   （6）y=|x-1|+|x+4|；
（7）y=

2x2-x+2

x2+x+1

；  （8）y=

2x2-x+1

2x-1

(x＞

1

2

)； （9）y=

1-sinx

2-cosx

（10）y=

x2-5x+6

x2+x-6

；    （11）y=2x+4

1-x

；    （12）y=-

x

x2+2x+2

（13）y=4-

3+2x-x2

；（14）y=x-

1-2x

；（15）y=

2x2+2x+5

x2+x+1

．

Answer 1

分析：（1）利用二次函數的性質，結合函數圖象可求
（2）要求原函數的值域，轉化為求二次函數-x²-6x-5的值域問題的求解，基本方法是配方
（（3）把函數化簡y=

3x+1

x-2

=

3(x-2)+7

x-2

=3+

7

x-2

，結合反比例函數的性質可求
（4）利用換元法，然后結合二次函數的性質可求函數的值域．
（5）利用換元，令x=cosα，然后由輔助角公式，結合正弦函數的性質可求
（6）利用分段函數進行討論，把函數化簡為y=|x-1|+|x+4|=

2x+3，x≥1 5，-4＜x＜1 -2x-3，x≤-4

，從而可求
（7）利用判別式法進行求解
（8）由y=

(x- 1 2 )2+ 1 2 (x- 1 2 )+ 1 2

x- 1 2

，分離系數后利用基本不等式求解函數的值域
（9）由于y=

1-sinx

2-cosx

=

sinx-1

cosx-2

可以看著在單位圓上任取一點與定點A（2，1）的連線的斜率，根據幾何意義可求函數的值域
（10）利用分離系數法，結合反比例函數的值域進行求解
（11）利用換元，結合二次函數的配方法進行求解
（12）分x＞0，x=0，x＜0三種情況，分子分母同時x，然后結合二次函數的配方法進行求解
（13）利用二次函數的配方法進行求解函數的值域
（14）利用函數的單調性進行求解函數的值域
（15）利用分離系數法，然后由二次函數的值域的求解的配方法進行求解

解答：解（1）y=3x²-x+2
由二次函數的性質可知，當x=

1

6

時，函數有最小值

23

12

故函數的值域為[

23

12

，+∞）
（2）y=

-x2-6x-5

=

-(x+3)2+4

∵0≤

-(x+3)2+4

≤

4

0
∴0≤y≤2
故函數的值域[0，2]
（3）y=

3x+1

x-2

=

3(x-2)+7

x-2

=3+

7

x-2

≠3
故函數的值域（-∞，3）∪（3，+∞）
（4）令

1-x

=t則t≥0且x=1-t²
y=x+4

1-x

=1-t²+4t=-（t-2）²+5在[0，2]上單調遞增，在[2，+∞）單調遞減
當t=2時，函數有最大值5
∴函數的值域為（-∞，5]
（5）令x=cosα，則y=x+

1-x2

=cosα+sinα=

2

sin(α+

π

4

)
∴-

2≤

y≤ 

2

（6）y=|x-1|+|x+4|=

2x+3，x≥1 5，-4＜x＜1 -2x-3，x≤-4

∴y≥5
故函數的值域[5，+∞）
（7）∵y=

2x2-x+2

x2+x+1

∴（y-2）x²+（y+1）x+y-2=0
①當y=2時，x=0滿足條件
②當y≠2時，△=（y+1）²-4（y-2）²≥0即y²-6y+5≤0
解可得1≤y≤5且y≠2
綜上可得，1≤y≤5
故函數的值域為{y|1≤y≤5}
 （8）∵x＞

1

2

∴x-

1

2

＞0
∴x-

1

2

+

1 2

x- 1 2

≥2

(x- 1 2 )• 1 2 x- 1 2

=

2

∴y=

(x- 1 2 )2+ 1 2 (x- 1 2 )+ 1 2

x- 1 2

=x+

1

2

+

1 2

x- 1 2

+

1

2

≥

2

+

1

2

故函數的值域為[

2

+

1

2

，+∞）
（9）∵y=

1-sinx

2-cosx

=

sinx-1

cosx-2

可以看著在單位圓上任取一點與定點A（2，1）的連線的斜率
當直線與圓相切時，由圓心到直線的距離為半徑可得斜率k=0或k=

4

3

∴0≤k≤

4

3

故函數的值域為[0，

4

3

]

（10）∵y=

x2-5x+6

x2+x-6

=

(x-2)(x-3)

(x+3)(x-2)

=

x-3

x+3

(x≠2)
∴y=

x-3

x+3

=

x+3-6

x+3

1-

6

x+3

∴y≠-

1

5

且y≠1
∴函數的值域為{y|y≠1且y≠-

1

5

}
（11）∵y=2x+4

1-x

令

1-x

=t，則x=1-t²且t≥0
∴y=2x+4

1-x

=2（1-t²）+4t=-2t²+4t+2=-2（t-1）²+4
根據二次函數的 性質可知，當t=1時，函數有最大值4
函數的值域為（-∞，4]
（12）y=-

x

x2+2x+2

①當x=0時，y=0
②當x＞0，y=-

x

x2+2x+2

=-

1

x2+2x+2 x2

=-

1

1+ 2 x + 2 x2

∵

2

x2

+

2

x

+1=2(

1

x

+

1

2

)2+

1

2

＞1
∴y＞-1
③當x＜0時，y=-

x

x2+2x+2

=

1

1+ 2 x + 2 x2

∵

2

x2

+

2

x

+1=2(

1

x

+

1

2

)2+

1

2

≥

1

2

∴y≤

2

綜上可得，函數的值域為R
（13）∵y=4-

3+2x-x2

的定義域[-1，3]
令f（x）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
則0≤f（x）≤4
∴0≤

3+2x-x2

≤2
∴2≤f（x）≤4即函數的值域[2，4]
（14）∵y=x-

1-2x

的定義域為（-∞，

1

2

]，且在（-∞，

1

2

]上單調遞增
∴當x=

1

2

時，函數有最大值

1

2

故函數的值域（-∞，

1

2

]
（15）∵y=

2x2+2x+5

x2+x+1

∴（y-2）x²-（y-2）x+y-5=0
∴△=（y-2）²-4（y-2）（y-5）≥0
即（y-2）（3y-18）≤0
∴2≤y≤6
故函數的值域（2，6]

點評：本題主要考查了函數值域求解的一些常用方法的應用，要注意配方、換元、函數的單調性、判別式法、及利用幾何意義等方法的應用