Question

【題目】若二次函數f（x）=x2+bx+c滿足f（2）=f（﹣2），且函數的f（x）的一個零點為1． （Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）對任意的 ，4m2f（x）+f（x﹣1）≥4﹣4m2恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（2）=f（﹣2）且f（1）=0，故函數圖像的對稱軸為x=0， ∴b=0，c=﹣1，∴f（x）=x2﹣1．
（Ⅱ）由題意知：4m2（x2﹣1）+（x﹣1）2﹣1+4m2﹣4≥0，在 上恒成立，
整理得 在 上恒成立．
令g（x）= ，
∵ ，∴ ，
當 時，函數g（x）的最大值 ，
所以 ，解得 或
【解析】（Ⅰ）由題意可得函數圖像的對稱軸為x=0，求得b=0，再由f（1）=0求得c=﹣1，從而得到函數的解析式．（Ⅱ）由題意知，得 在 上恒成立．令g（x）= ，求得g（x）的最大值 ，從而得到 ，由此求得實數m的取值范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．