Question

已知向量

m

=(sinx，-1)，向量

n

=(

3

cosx，

1

2

)，函數f(x)=(

m

+

n

)•

m

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）若方程f（x）-t=0在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由平面向量數量積的運算公式，結合二倍角的余弦公式和輔助角公式化簡得f（x）sin（2x-

π

6

）+1，再結合正弦函數周期公式，即可得到f（x）的最小正周期；
（II）根據x∈[

π

4

，

π

2

]，可得2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]．再結合正弦函數的圖象與性質，可得f（x）=sin（2x-

π

6

）+1的值域為[

3

2

，2]．由此結合方程f（x）-t=0有[

π

4

，

π

2

]上的解，即可求出實數t的取值范圍．

解答：解：（I）∵

m

=(sinx，-1)，

n

=(

3

cosx，

1

2

)，
∴

m

+

n

=（sinx+

3

cosx，-

1

2

），可得
f(x)=(

m

+

n

)•

m

=sinx（sinx+

3

cosx）+

1

2

=sin²x+

3

sinxcosx+

1

2

∵sin²x=

1

2

（1-cos2x），sinxcosx=

1

2

sin2x
∴f（x）=

1

2

（1-cos2x）+

3

2

sin2x+

1

2

=sin（2x-

π

6

）+1
因此，f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（II）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，可得2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]
∴sin（2x-

π

6

）∈[

1

2

，1]，得f（x）=sin（2x-

π

6

）+1的值域為[

3

2

，2]
∵方程f（x）-t=0在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，
∴f（x）=t在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，可得實數t的取值范圍為[

3

2

，2]．

點評：本題給出向量含有三角函數的式的坐標形式，求函數f(x)=(

m

+

n

)的表達式并依此討論方程f（x）-t=0在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解的問題，著重考查了平面向量數量積運算公式及其運算性質、三角函數的圖象與性質和三角恒等變換等知識，屬于中檔題．