Question

設數列{a_n}是等比數列，a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹，公比q是(x+

1

4x2

)4的展開式中的第二項（按x的降冪排列）．
（1）用n，x表示通項a_n與前n項和S_n；
（2）若A_n=C_n¹S₁+C_n²S₂+…+C_nⁿS_n，用n，x表示A_n．

Answer 1

分析：第（1）問的提出是很自然的，在確定參數m和公比q時，自然需要討論排列數、組合數的性質，此處為：

2m+3≥3m m-2≥1

，另外二項展開式中的第二項的求解需要注意題意，即按x的降冪排列．以上兩點注意到了很自然的能求出參數m和公比q的值來．
（2）在（1）中求得前n項和S_n的基礎上要分兩類x=1和x≠1來解答，當x=1時的形式能使我們很容易得到表達式A_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=0C_n⁰+1C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，聯想組合數的性質C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ=2ⁿ，很容易構造出解答A_n的式子及方法．當x≠1時要分兩組式子分別計算得到A_n的值．

解答：解：（1）∵a₁=C_2m+3^3m•A_m-2¹∴

2m+3≥3m m-2≥1

∴m=3，…（2分）
由(x+

1

4x2

)4的展開式中的同項公式知T2=

C

1 4

x4-1(

1

4x2

)=x，

∴a_n=x^n-1
∴由等比數列的求和公式得：Sn=

n，x=1 1-xn 1-x ，x≠1

…（4分）
（2）當x=1時，S_n=n，
所以：A_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=0C_n⁰+1C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，
又∵A_n=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+（n-2）C_n^n-2+…+C_n¹+0C_n⁰，
∴上兩式相加得：2A_n=n（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）=n•2ⁿ，
∴A_n=n•2^n-1，
當x≠1時，Sn=

1-xn

1-x

，
所以有：

An= 1-x 1-x C 1 n + 1-x2 1-x C 2 n +…+ 1-xn 1-x C n n

= 1 1-x [( C 1 n + C 2 n +…+ C n n )-(x C 1 n +x2 C 2 n +…+xn C n n )]

=

1

1-x

[2ⁿ-1-（1+x）ⁿ+1]

= 1 1-x [2n-(1+x)n]，

∴An=

n•2n-1，x=1 2n-(1+x)n 1-x ，x≠1

…（10分）

點評：本題綜合考查了數列及數列的前n項和的求法，二項式定理的內容．公比為參數x的等比數列前n項和的討論．對于二項式定理的展開應用，本題需要注意是按照參數字母x的降冪排列，忽略這一點將導致錯誤．