Question

已知a、b是兩條異面直線，a⊥b，點P∉a且P∉b．下列命題中：
①在上述已知條件下，平面α一定滿足：P∈α，a∥α且b∥α；
②在上述已知條件下，存在平面α，使P∉α，a?α且b⊥α；
③在上述已知條件下，直線c一定滿足：P∈c，a∥c且b∥c；
④在上述已知條件下，存在直線c，使P∉c，a⊥c且b⊥c．
正確的命題有

②④

（把所有正確的序號都填上）．

Answer 1

分析：構造正方體ABCD-A₁B₁C₁D，利用正方體的幾何特征，分別討論四個答題是否成立，綜合分析結果可得答案．

解答：解：構造正方體ABCD-A₁B₁C₁D，
設AB所在的直線為a，CC₁所在的直線為b，
當點P∈CD時，不存在平面α，使P∈α，a∥α且b∥α，故①錯；
當點P∈C₁D₁時，存在平面ABCD為平面α，滿足P∉α，a?α且b⊥α，故②正確；
當點P∈CD時，不存在直線c滿足條件a∥c且b∥c，故③錯；
當點P∈CD（不含C點）時，存在直線BC為直線c滿足條件a⊥c且b⊥c，故④正確．
故正確的命題有：②④
故答案為：②④

點評：本題以命題的真假判斷與應用為載體考查了空間直線與平面的位置關系，本題比較抽象，判斷難度比較大，故可引入正方體幫助分析．