Question

（第一、二層次學(xué)校的學(xué)生做）
對于函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a＞0），如果方程f（x）=x有相異兩根x₁，x₂．
（1）若x₁＜1＜x₂，且f（x）的圖象關(guān)于直線x=m對稱．求證：m＞

1

2

；
（2）若0＜x₁＜2且|x₁-x₂|=2，求證：4a+2b＜1；
（3）α、β為區(qū)間[x₁，x₂]上的兩個不同的點，求證：2aαβ-（1-b）（a+β）+2＜0．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，x₁、x₂是方程g（x）=f（x）-x=0的兩個實數(shù)根，由x₁＜1＜x₂可得g（1）＜0，證出x₁x₂＜x₁+x₂-1．由此結(jié)合x=m滿足m=

1

2

（-

b-1

a

-

1

a

），將其化簡成關(guān)于x₁、x₂的式子即可證出m＞

1

2

；
（2）由方程g（x）=0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系算出x₁x₂=-

1

a

＞0，故x₁、x₂同號．結(jié)合題意0＜x₁＜2且|x₁-x₂|=2，證出x₂=x₁+2＞2，從而得到2∈（x₁，x₂），由g（2）＜0，即可證出4a+2b＜1；
（3）由前面結(jié)論得x₁+x₂=

-b+1

a

，x₁x₂=

1

a

．設(shè)α＜β，將2（α-x₁）（β-x₂）展開化簡，進(jìn)行配湊得2（α-x₁）（β-x₂）＞2αβ-（x₁+x₂）（α+β）+2x₁x₂，結(jié)合2αβ-（x₁+x₂）（α+β）+2x₁x₂=

2aαβ-(1-b)(α-β)+2

a

，可得

2aαβ-(1-b)(α-β)+2

a

＜0，結(jié)合a＞0即可得到原不等式成立．

解答：解：（1）設(shè)g（x）=ax²+（b-1）x+1，且a＞0
∵x₁＜1＜x₂，∴（x₁-1）（x₂-1）＜0，即x₁x₂＜x₁+x₂-1，
于是x=m即x=-

b

2a

，也就是x=

1

2

（-

b-1

a

-

1

a

）
∴m=

1

2

（-

b-1

a

-

1

a

）=

1

2

（x₁+x₂）-

1

2

x₁x₂＞

1

2

（x₁+x₂）-

1

2

[（x₁+x₂）-1]=

1

2

即不等式m＞

1

2

成立；
（2）由方程g（x）=ax²+（b-1）x+1=0，可得x₁x₂=-

1

a

＞0，故x₁、x₂同號
由0＜x₁＜2且|x₁-x₂|=2，得x₂-x₁=2
∴x₂=x₁+2＞2，
由此可得2∈（x₁，x₂），得g（2）＜0，
所以4a+2b-1＜0，可得4a+2b＜1；
（3）由前面的結(jié)論，得x₁+x₂=

-b+1

a

，x₁x₂=

1

a

α、β為區(qū)間[x₁，x₂]上的兩個不同的點，不妨設(shè)α＜β
0＞2（α-x₁）（β-x₂）
∵2（α-x₁）（β-x₂）=2αβ-2（βx₁+αx₂）+2x₁x₂
=2αβ-（x₁+x₂）（α+β）+2x₁x₂+（x₁-x₂）（α-β）＞2αβ-（x₁+x₂）（α+β）+2x₁x₂
且2αβ-（x₁+x₂）（α+β）+2x₁x₂=

2aαβ-(1-b)(α-β)+2

a

∴0＞

2aαβ-(1-b)(α-β)+2

a

，
結(jié)合a＞0，可得2aαβ-（1-b）（a+β）+2＜0．

點評：本題給出二次函數(shù)滿足的條件，求證不等式恒成立并討論函數(shù)零點的分布．著重考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、函數(shù)的零點和不等式的等價變形等知識，考查了邏輯思維能力與推理論證能力，考查了轉(zhuǎn)化化歸與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．