Question

某市環境研究所對市中心每天環境污染情況進行調查研究后，發現一天中環境綜合污染指數f（x）與時間x（小時）的關系為，x∈[0，24]，其中a為與氣象有關的參數，且a∈[0，]．若用每天f（x）的最大值作為當天的綜合污染指數，并記作M（a）．
（Ⅰ）令，x∈[0，24]，求t的取值范圍；
（Ⅱ）求函數M（a）；
（Ⅲ）為加強對環境污染的整治，市政府規定每天的綜合環境污染指數不得超過2，試問目前市中心的綜合污染指數是多少？是否超標？

Answer 1

解：（Ⅰ），． 　…
（Ⅱ）令．
當時，． …
當時，． …
M（a）=…
（Ⅲ）當時，M（a）是增函數，…
當時，M（a）是增函數，．…
所以，市中心污染指數沒有超標 …
分析：（I）根據x的取值范圍求出的取值范圍，最后根據正弦函數的性質從而可求出t的取值范圍；
（Ⅱ）由（I）化簡f（x）的解析式，討論a的范圍，去掉絕對值，從而求出函數M（a）；
（Ⅲ）根據分段函數，分別研究每段上的最大值，然后與2進行比較，從而確定是否超標．
點評：本題主要考查了根據實際問題選擇函數類型，以及利用單調性求最值，同時考查了計算能力和分類討論的數學思想，屬于中檔題．