Question

（2011•海淀區二模）某商場一號電梯從1層出發后可以在2、3、4層停靠．已知該電梯在1層載有4位乘客，假設每位乘客在2、3、4層下電梯是等可能的．
（Ⅰ） 求這4位乘客中至少有一名乘客在第2層下電梯的概率；
（Ⅱ） 用X表示4名乘客在第4層下電梯的人數，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）根據題意知每位乘客在第2層下電梯的概率都是

1

3

，至少有一名乘客在第2層下電梯的對立事件是沒有人在第二層下電梯，根據對立事件和相互獨立事件的概率公式得到結果．
（II）由題意知X的可能取值為0，1，2，3，4，由題意可得每個人在第4層下電梯的概率均為

1

3

，且每個人下電梯互不影響，得到變量符合二項分布，根據二項分布的公式寫出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ） 設4位乘客中至少有一名乘客在第2層下電梯的事件為A，…（1分）
由題意可得每位乘客在第2層下電梯的概率都是

1

3

，…（3分）
則P(A)=1-P(

.

A

)=1-(

2

3

)4=

65

81

．…（6分）
（Ⅱ） X的可能取值為0，1，2，3，4，…（7分）
由題意可得每個人在第4層下電梯的概率均為

1

3

，且每個人下電梯互不影響，
所以，X～B(4，

1

3

)．…（9分）

X	0	1	2	3	4
P	16 81	32 81	24 81	8 81	1 81

…（11分）E(X)=4×

1

3

=

4

3

．…（13分）

點評：本題看出離散型隨機變量的分布列和期望，本題解題的關鍵是看出變量符合二項分布的特點，后面用公式就使得運算更加簡單