Question

【題目】某公司生產的某批產品的銷售量萬件（生產量與銷售量相等）與促銷費用萬元滿足（其中，為正常數）．已知生產該產品還需投入成本萬元（不含促銷費用），產品的銷售價格定為元件．

（1）將該產品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數；

（2）促銷費用投入多少萬元時，該公司的利潤最大？

Answer 1

【答案】（1）；

（2）當時，促銷費用投入2萬元時，該公司的利潤最大；當時，促銷費用投入萬元時，該公司的利潤最大．

【解析】

（1）根據產品的利潤銷售額產品的成本建立函數關系；

（2）利用導數基本不等式可求出該函數的最值，注意等號成立的條件．

解：（1）由題意知，，

將代入化簡得：；

（2），

當且僅當，即時，上式取等號；

當時，促銷費用投入2萬元時，該公司的利潤最大；

，，

時，函數在，上單調遞增，

時，函數有最大值．即促銷費用投入萬元時，該公司的利潤最大．