Question

已知直線x-2y+4=0經過橢圓C：（a＞b＞0）的左頂點A和上頂點D，橢圓C的右頂點為B，點P是橢圓C上位于軸上方的動點，直線AP，BP與直線l：x=5分別交于M，N兩點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）求線段MN的長度的最小值；
（3）當線段MN的長度最小時，Q點在橢圓上運動，記△BPQ的面積為S，當S在（0，+∞）上變化時，討論S的大小與Q點的個數之間的關系。

Answer 1

解：（1）由已知得橢圓C的左頂點為A（-4，0），上頂點為D（0，2），
∴a=4，b=2，
故橢圓C的方程為：；
（2）直線AP的斜率k顯然存在，且k＞0，故可設直線AP的方程為y=k（x+4），從而
設
則
∴直線的方程為：
得
∴
當且僅當即時等號成立
∴時，線段MN的長度取最小值3；
（3）由（2）知，當線段MN的長度取最小值時
此時直線BP的方程為
，
設與BP平行的直線
聯立得
由得
當時，BP與l′的距離為，此時S_△BPQ=
當時，BP與l′的距離為，此時S_△BPQ=
∴當時，這樣的Q點有4個
當時，這樣的Q點有3個
當時，這樣的Q點有2個
當時，這樣的Q點有1個
當時，這樣的Q點不存在。