Question

設a，b∈R，且a≠2，定義在區間（-b，b）內的函數f（x）=lg

1+ax

1+2x

是奇函數．
（1）求b的取值范圍；
（2）討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）在區間（-b，b）是奇函數，知f（-x）=-f（x），x∈（-b，b）上恒成立，用待定系數法求得a；同時函數要有意義，即

1+ax

1+2x

＞0，x∈（-b，b）上恒成立，可解得結果．
（2）選用定義法求解，先任意取兩個變量且界定大小，再作差變形看符號．

解答：解（1）f（x）=lg

1+ax

1+2x

（-b＜x＜b）是奇函數等價于：
對任意x∈（-b，b）都有

f(-x)=-f(x) ① 1+ax 1+2x ＞0 ②

①式即為lg

1-ax

1-2x

=-lg

1+ax

1+2x

=lg

1+2x

1+ax

，由此可得

1-ax

1-2x

=

1+2x

1+ax

，
也即a²x²=4x²，此式對任意x∈（-b，b）都成立相當于a²=4，
因為a≠2，所以a=-2，
代入②式，得

1-2x

1+2x

＞0，即-

1

2

＜x＜

1

2

，
此式對任意x∈（-b，b）都成立相當于
-

1

2

≤-b＜b≤

1

2

，
所以b的取值范圍是（0，

1

2

]．
（2）設任意的x₁，x₂∈（-b，b），且x₁＜x₂，
由b∈（0，

1

2

]，得-

1

2

≤-b＜x₁＜x₂＜b≤

1

2

，
所以0＜1-2x₂＜1-2x₁，0＜1+2x₁＜1+2x₂，
從而f（x₂）-f（x₁）=lg

1-2x2

1+2x2

-lg

1-2x1

1+2x1

=lg

(1-2x2)(1+2x1)

(1+2x2)(1-2x1)

＜lg1=0
因此f（x）在（-b，b）內是減函數．

點評：本題主要考查函數的奇偶性，要注意定義域優先考慮原則，還考查了用定義法證明函數的單調性，要注意作差時的變形要到位，要用上兩個變量的大小關系．