Question

下列命題中，真命題的是

②

．
①函數y=cos(2x+

π

2

)+1的圖象的一個對稱中心是(-

π

2

，0)；
②要得到函數y=cos(-

π

3

+2x)的圖象，只需將函數y=sin2x的圖象向左平移

π

12

個單位；
③α=

π

4

+2kπ是tanα=1的充要條件；
④函數y=sinx-

3

cosx  x∈[-π，0]的單調遞增區間是[-

5

6

π， -

π

6

]．

Answer 1

分析：函數y=cos(2x+

π

2

)+1的圖象的對稱中心滿足：

2x+ π 2 =kπ+ π 2 ，k∈Z y=1

；將函數y=sin2x的圖象向左平移

π

12

個單位，得到y=sin（2x+

π

6

）=cos（

π

3

-2x）=cos（-

π

3

+2x）的圖象；α=

π

4

+2kπ⇒tanα=1，tanα=1⇒α=

π

4

+kπ，或α=

3π

4

+kπ，k∈Z，故α=

π

4

+2kπ是tanα=1的充分不必要條件；y=sinx-

3

cosx=2sin（x-

π

3

），x∈[-π，0]的增區間是[-

π

6

，0]．

解答：解：函數y=cos(2x+

π

2

)+1的圖象的對稱中心滿足：

2x+ π 2 =kπ+ π 2 ，k∈Z y=1

，故A不成立；
將函數y=sin2x的圖象向左平移

π

12

個單位，
得到y=sin（2x+

π

6

）=cos（

π

3

-2x）=cos（-

π

3

+2x）的圖象，故②成立；
α=

π

4

+2kπ⇒tanα=1，tanα=1⇒α=

π

4

+kπ，或α=

3π

4

+kπ，k∈Z，
∴α=

π

4

+2kπ是tanα=1的充分不必要條件，故③不成立；
y=sinx-

3

cosx=2sin（x-

π

3

），x∈[-π，0]的增區間是[-

π

6

，0]，故D不正確．
故答案為：②．

點評：本題考查命題的真假判斷及其應用，解題時要認真審題，注意三角函數的性質的靈活運用．