Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M，N分別為PC，PB的中點．
（1）求證：PB⊥DM；
（2）求CD與平面ADMN所成角的正弦值；
（3）在棱PD上是否存在點E，PE：ED=λ，使得二面角C-AN-E的平面角為60°．存在求出λ值．

Answer 1

解：（1）如圖以A為原點建立空間直角坐標系，不妨設|AB|=2．
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），M（1，，1），N（1，0，1），P（0，0，2），
∵=（2，0，-2），=（1，-，1），∴=0，∴PB⊥DM．
（2）由（1）可得：=（-2，1，0），=（0，2，0），=（1，0，1）．
設平面ADMN法向量=（x，y，z），
則得到，令x=1，則z=-1，y=0，∴=（1，0，-1）．
設CD與平面ADMN所成角α，則．
（3）假設在棱PD上存在點E（0，m，2-m），滿足條件．
設平面ACN法向量=（x，y，z），由，，，
可得，令x=1，則y=-2，z=-1，∴=（1，-2，-1）．
設平面AEN的法向量=（x₀，y₀，z₀），由，，，
可得，令x₀=1，則z₀=-1，，∴．
∴cos60°=，得，化為，
化為23m²-52m+20=0，又m∈[0，2]．
解得，滿足m∈[0，2]．
∴λ=PE：ED=：=m：（2-m）=．
分析：（1）建立空間直角坐標系，利用?即可證明；
（2）先求出平面ADMN的法向量，利用斜線段CD的方向向量與平面的法向量的夾角即可得出；
（3）利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角．
點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系，利用?、斜線的方向向量與平面的法向量的夾角求線面角、利用兩個平面的法向量的夾角求二面角是解題的關鍵．