Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）若函數在處的切線平行于直線，求實數a的值；

（Ⅱ）判斷函數在區間上零點的個數；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若在上存在一點，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）時， 在無零點； 時， 在恰有一個零點； 時， 在有兩個零點（3）或

【解析】試題分析：（1）利用導數的幾何意義，得， ；（2）函數的零點個數等價于兩個函數的交點的個數，即與的交點個數；（3）不等式能成立問題轉化為函數的最值問題.

試題解析：

（Ⅰ）,函數在處的切線平行于直線

..

（Ⅱ）令 ， 得

記 ， 由此可知

在上遞減，在上遞增，

且 時

故時， 在無零點

時， 在恰有一個零點

時， 在有兩個零點

（Ⅲ）在上存在一點,使得成立等價于函數在上的最小值小于零.

,

①當時,即時, 在上單調遞減,所以的最小值為,由可得,；

②當時,即時, 在上單調遞增,所以的最小值為,由可得；

③當時,即時,可得的最小值為此時, 不成立.

綜上所述:可得所求的范圍是或