Question

若△ABC滿足

sinB

sinA

=3cos(A+B)，則tanB的最大值是

3

4

．

Answer 1

分析：由A和B為三角形的內角，得到sinA和sinB都大于0，進而確定出C為鈍角，利用誘導公式及三角形的內角和定理化簡已知等式的左邊，得到sinB=-3sinAcosC，再由sinB=sin（A+C），利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，再利用同角三角函數間的基本關系化簡，得到tanC=-4tanA，將tanB利用誘導公式及三角形的內角和定理化簡為-tan（A+C），利用兩角和與差的正切函數公式化簡，將tanC=-4tanA代入，變形后利用基本不等式求出tanB的范圍，即可得到tanB的最大值．

解答：解：∵sinA＞0，sinB＞0，
∴

sinB

sinA

=3cos(A+B)=-3cosC＞0，即cosC＜0，
∴C為鈍角，sinB=-3sinAcosC，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=-3sinAcosC，即cosAsinC=-4sinAcosC，
∴tanC=-4tanA，
∴tanB=-tan（A+C）=-

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

-3tanA

1+4tan2A

=

3

1 tanA +4tanA

≤

3

4

，
當且僅當

1

tanA

=4tanA，即tanA=

1

2

時取等號，
則tanB的最大值為

3

4

．
故答案為：

3

4

．

點評：此題考查了同角三角函數間的基本關系，兩角和與差的正弦、正切函數公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握基本關系及公式是解本題的關鍵．