Question

甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結束.假設在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結果相互獨立.已知前2局中，甲、乙各勝1局.

（1）求甲獲得這次比賽勝利的概率；

（2）求經過5局比賽，比賽結束的概率

Answer 1

（1）記B表示事件：甲獲得這次比賽的勝利.
因前兩局中，甲、乙各勝一局，故甲獲得這次比賽的勝利當且僅當在后面的比賽中，甲先勝2局，從而
B＝A₃·A₄＋B₃·A₄·A₅＋A₃·B₄·A₅，
由于各局比賽結果相互獨立，故
P(B)＝P(A₃·A₄)＋P(B₃·A₄·A₅)＋P(A₃·B₄·A₅)
＝P(A₃)P(A₄)＋P(B₃)P(A₄)P(A₅)＋P(A₃)P(B₄)P(A₅)
＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648

（2）經過5局比賽，甲獲勝的概率為
P(B₃·A₄·A₅)＋P(A₃·B₄·A₅)＝0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.288；
經過5局比賽，乙獲勝的概率為
P(A₃·B₄·B₅)＋P(B₃·A₄·B₅)＝0.6×0.4×0.4＋0.4×0.6×0.4＝0.192.
所以經過5局比賽，比賽結束的概率為0.288＋0.192＝0.48