Question

橢圓的離心率等于

3

3

，且與雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1有相同的焦距，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

75

+

y2

50

=1或

y2

75

+

x2

50

=1

．

Answer 1

分析：分橢圓的焦點在x軸和y軸上，設(shè)出橢圓方程，利用與雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1有相同的焦距且離心率為

3

3

，建立方程組，求得幾何量，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（i）當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時，
設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，則
∵橢圓的焦距與雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1有相同的焦距，且離心率為

3

3

，
∴

a2-b2=25 5 a = 3 3

∴a²=75，b²=50
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

75

+

y2

50

=1；
（ii）當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時，
設(shè)橢圓的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1，則同理可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

75

+

x2

50

=1．
故答案為：

x2

75

+

y2

50

=1或

y2

75

+

x2

50

=1．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．