Question

設f(x)和g(x)都是定義在同一區間上的兩個函數，若對任意x∈[1,2]，都有|f(x)＋g(x)|≤8，則稱f(x)和g(x)是“友好函數”，設f(x)＝ax，g(x)＝.
(1)若a∈{1,4}，b∈{－1,1,4}，求f(x)和g(x)是“友好函數”的概率；
(2)若a∈[1,4]，b∈[1,4]，求f(x)和g(x)是“友好函數”的概率．

Answer 1

（1）（2）

(1)設事件A表示f(x)和g(x)是“友好函數”，
則|f(x)＋g(x)|(x∈[1,2])所有的情況有：
x－，x＋，x＋，4x－，4x＋，4x＋，
共6種且每種情況被取到的可能性相同．
又當a＞0，b＞0時，ax＋在上遞減，在上遞增；
x－和4x－在(0，＋∞)上遞增，
∴對x∈[1,2]可使|f(x)＋g(x)|≤8恒成立的有x－，x＋，x＋，4x－，故事件A包含的基本事件有4種，
∴P(A)＝＝，故所求概率是.
(2)設事件B表示f(x)和g(x)是“友好函數”，
∵a是從區間[1,4]中任取的數，b是從區間[1,4]中任取的數，
∴點(a，b)所在區域是長為3，寬為3的矩形區域．
要使x∈[1,2]時，|f(x)＋g(x)|≤8恒成立，
需f(1)＋g(1)＝a＋b≤8且f(2)＋g(2)＝2a＋≤8，

∴事件B表示的點的區域是如圖所示的陰影部分．
∴P(B)＝，
故所求概率是.