Question

正項數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=

(an+2)2

8

．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）求證：

2

a1

+

2

a2

+

2

a3

+…+

2

an

＞

4n+2

-

2

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列遞推式

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）證明數列{a_n}是以2為首項，4為公差的等差數列，即可求數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）利用放縮法，結合裂項求和，即可證明不等式．

解答： （Ⅰ）解：n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

(an+2)2

8

-

(an-1+2)2

8

∴（a_n-a_n-1-4）（a_n+a_n-1）=0
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=4，
∵n=1時，a₁=2，
∴數列{a_n}是以2為首項，4為公差的等差數列，
∴a_n=4n-2；
（Ⅱ）證明：

2

an

=

2

4n-2

=

4

4n-2 + 4n-2

＞

4

4n-2 + 4n+2

=

4n+2

-

4n-2

∴

2

a1

+

2

a2

+

2

a3

+…+

2

an

＞

6

-

2

+

10

-

6

+…+

4n+2

-

4n-2

=

4n+2

-

2

點評：本題考查求數列的通項公式，放縮法證明不等式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．