Question

設F是橢圓

x2

11

+

y2

15

=1的一個焦點，橢圓上至少有21個點P₁，P₂，P₃，…，P₂₁，使得數列{P_iF}（i=1，2，…，21）成公差為d的等差數列，則d的一個可取值是（　　）

• A．

  1

  2

• B．-

  1

  3

• C．

  1

  4

• D．-

  1

  5

Answer 1

分析：根據橢圓的幾何性質，可得a-c≤P_iF≤a+c，因此根據橢圓的基本量算出數列{P_iF}的公差d滿足：|P₂₁F-P₁F|≤2c=4，解出d∈[-

1

5

，

1

5

]，再對照各個選項即得本題答案．

解答：解：∵橢圓

x2

11

+

y2

15

=1中，a=

15

，b=

11

∴設橢圓的右焦點為F（c，0），可得c=

a2-b2

=2
∵P_i（i=1，2，…，21）是橢圓上的點
∴a-c≤P_iF≤a+c，即

15

+2≤P_iF≤

15

+2
∵數列{P_iF}（i=1，2，…，21）成公差為d的等差數列，
∴公差d滿足：|P₂₁F-P₁F|≤2c=4，即-4≤20d≤4，
解之得d∈[-

1

5

，

1

5

]，再對照各個選項，可得只有D項在此范圍內
故選：D

點評：本題給出橢圓的21條焦半徑成等差數列，求公差d的可能值．著重考查了等差數列的性質和橢圓的標準方程、簡單幾何性質等知識，屬于中檔．