Question

對于函數，若在定義域存在實數，滿足，則稱為“局部奇函數”．
（1）已知二次函數，試判斷是否為“局部奇函數”？并說明理由；
（2）設是定義在上的“局部奇函數”，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）是“局部奇函數”；（2）.

試題分析：（1）本題實質就是解方程，如果這個方程有實數解，就說明是“局部奇函數”，如果這個方程無實數解，就說明不是“局部奇函數”，易知有實數解，因此答案是肯定的；（2）已經明確是“局部奇函數”，也就是說方程一定有實數解，問題也就變成方程在上有解，求參數的取值范圍，又方程可變形為，因此求的取值范圍，就相當于求函數的值域，用換元法（設），再借助于函數的單調性就可求出.
試題解析：(1)為“局部奇函數”等價于關于的方程有解．
即（3分）
有解為“局部奇函數”．（5分）
(2)當時, 可轉化為（8分）
因為的定義域為,所以方程在上有解,令,（9分）
則
因為在上遞減,在上遞增,（11分）
（12分）
即（14分）