Question

設函數．

       （Ⅰ）當時，求函數的圖象在點處的切線方程；

       （Ⅱ）已知，若函數的圖象總在直線的下方，求的取值范圍；

       （Ⅲ）記為函數的導函數．若，試問：在區間上是否存在（）個正數…，使得成立？請證明你的結論．

Answer 1

解：（Ⅰ）當時，，，，

所以切線的斜率為．…………………………………………2分

又，所以切點為．

故所求的切線方程為：即．……………………4分

（Ⅱ），，．…………………6分

      令，則．

       當時，；當時，．

      故為函數的唯一極大值點，

所以的最大值為=．……………………………8分

由題意有，解得．

     所以的取值范圍為．…………………………………………10分

（Ⅲ）當時，．    記，其中．

∵當時，，∴在上為增函數，

即在上為增函數．…………………………………………12分

又，

所以，對任意的，總有．

所以，

又因為，所以．

故在區間上不存在使得成立的（）個正數…．………………………14分