Question

設向量

α

=（a，b），

β

=（m，n），其中a，b，m，n∈R，由不等式|

α

•

β

|≤|

α

|•|

β

|恒成立，可以證明（柯西）不等式（am+bn）²≤（a²+b²）（m²+n²）（當且僅當

α

∥

β

，即an=bm時等號成立），己知x，y∈R⁺，若

x

+3

y

＜k•

x+y

恒成立，利用柯西不等式可求得實數k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由（am+bn）²≤（a²+b²）（m²+n²），可得(

x

+3

y

)2≤（1+9）（x+y），結合x，y∈R⁺，

x

+3

y

＜k•

x+y

恒成立，即可求得實數k的取值范圍．

解答：解：∵（am+bn）²≤（a²+b²）（m²+n²），
∴(

x

+3

y

)2≤（1+9）（x+y），
∴

x

+3

y

≤

10

•

x+y

，
∵x，y∈R⁺，

x

+3

y

＜k•

x+y

恒成立，
∴k＞

10

．
故答案為：k＞

10

．

點評：本題考查柯西不等式，考查學生運用數學知識解決問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．