Question

如圖，已知正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為a，M為BD'的中點，點N在AC'上，且|A'N|=3|NC'|，試求MN的長．

Answer 1

分析：由已知中正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為a，M為BD'的中點，點N在A′C'上，且|A'N|=3|NC'|，我們可以以D為原點建立空間坐標系，并根據正方體的幾何特征，求出各點的坐標，然后將M，N的坐標代入空間兩點距離公式，即可求出答案．

解答：解：以D為原點，建立如圖空間直角坐標系．因為正方體棱長為a，
所以B（a，a，0），A'（a，0，a），C'（0，a，a），D'（0，0，a）．
由于M為BD'的中點，取A'C'中點O'，所以M（

a

2

，

a

2

，

a

2

），O'（

a

2

，

a

2

，a）．
因為|A'N|=3|NC'|，所以N為A'C'的四等分，從而N為O'C'的中點，故N（

a

4

，

3

4

a，a）．
根據空間兩點距離公式，可得|MN|=

( a 2 - a 4 )2+( a 2 - 3a 4 )2+( a 2 -a)2

=

6

4

a．

點評：本題考查的知識點是空間點、線、面之間的距離，其中根據建立坐標系，求出M，N兩點的坐標是解答本題的關鍵．