Question

如圖，四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的正方形，PA⊥底面ABCD，E為AB的中點，且PA=AB.

（1）求證：平面PCE⊥平面PCD；

（2）求點D到平面PCE的距離.

Answer 1

（1）證明：取PD的中點F，則AF⊥PD.

∵CD⊥平面PAD，∴AF⊥CD.

∴AF⊥平面PCD.

取PC的中點G，連結(jié)EG、FG，可證AFGE為平行四邊形，∴AF∥EG.

∴EG⊥平面PCD.

∵EG在平面PCE內(nèi)，

∴平面PCE⊥平面PCD.

（2）解析：在平面PCD內(nèi)，過點D作DH⊥PC于H.

∵平面PCE⊥平面PCD，

∴DH⊥平面PCE，

即DH為點D到平面PCE的距離.

在Rt△PAD中，PA=AD=a，PD=a.

在Rt△PCD中，PD=a，CD=a，PC=a.

∴DH==a.