Question

【題目】設(shè)為奇質(zhì)數(shù)，、是小于的正整數(shù).證明：的充分必要條件是，對任何小于的正整數(shù)，均有等于正奇數(shù).

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

必要性.

若，是小于的任一正整數(shù)，記，.

因為質(zhì)數(shù)，故、皆不為整數(shù).

因此，存在、，使，.

相加得.

故為整數(shù).

由于，則必有.

從而，（奇數(shù)）.

充分性.

若對任何小于的正整數(shù)，均有等于正奇數(shù). ①

令，則.

由必要性的討論可知，對任何小于的正整數(shù)，均有等于正奇數(shù).②

因此，由①、②，對任何小于的正整數(shù)，均有等于偶數(shù).③

由式③進而可得，對任何正整數(shù)，均有等于偶數(shù).④

（事實上，設(shè)，，則

等于偶數(shù)）

為證充分性，只須證.用反證法.

假設(shè)，不妨設(shè)，則.

因為奇質(zhì)數(shù)，有.因此，有正整數(shù)與，使.

據(jù)此知，必為奇數(shù)，且.⑤

顯然，不等于整數(shù)（否則，若等于整數(shù)，

由式⑤，為整數(shù).因，則.從而，等于整數(shù).故等于整數(shù).矛盾）.

由不等于整數(shù)，則.

對式⑤兩邊取整得.

因此，為奇數(shù)，這與式④矛盾.

故原假設(shè)不真.

于是，，即，所以，.