Question

等比數(shù)列{a_n}中，已知對任意自然數(shù)n，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，則a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=（　　）

• A．（2ⁿ-1）²
• B．

  1

  3

  (2n-1)
• C．4ⁿ-1
• D．

  1

  3

  (4n-1)

Answer 1

分析：由于S_n=a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，則可得a₁=S₁=1，a_n=S_n-S_n-1可求a_n，然后由等比數(shù)列的性質可知數(shù)列{an2}是以q²為公比，以a12為首項的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式可求a12+a22+…+an2

解答：解：設等比數(shù)列的公比為q，則由等比數(shù)列的性質可知數(shù)列{an2}是以q²為公比的等比數(shù)列
S_n=a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1
∵a₁=S₁=1，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1適合n=1
∴an=2n-1，
則由等比數(shù)列的性質可知數(shù)列{an2}是以q²=4為公比，以1為首項的等比數(shù)列
∴a12+a22+…+an2=

1-4n

1-4

=

4n-1

3

故選D

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，等比數(shù)列的性質的應用，等比數(shù)列的求和公式的應用